利用空间向量求直线与平面所成的角（教案）

§3.2.3利用空间向量求直线与平面所成的角（教案）

（第一课时）--董冰蓉

教学目标

1.使学生学会求直线与平面所成的角；

2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何中的线面角问题；

3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.

教学重点

求解线面角的向量方法

教学难点    

线面角的大小与直线的方向向量和平面法向量夹角的大小的关系

教学过程

一、复习引入

线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；

一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°

线面角的范围：

【前情提要】

如图：在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求：

（1）A₁C₁与平面BB₁D₁D所成的角      （2）A₁C₁与平面BB₁C₁C所成的角       

【引例】

如图所示，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA₁＝3.求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

二、新知探索

直线与平面所成的角（范围：）

思考：设平面的法向量为，则与的关系？

【结论】4种情况，两类问题（改变直线方向向量的方向、改变平面法向量的方向）

三、小试牛刀

1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝3(2π)，则l与α所成的角为(　　)

A.3(2π)         B.3(π)          C.6(π)          D.6(5π)

2．若平面α的一个法向量为n＝(2,2,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－1，0,1)，则l与α所成角的余弦值为(　　)

A．      B.         C．       D.

四、例题精析

如图所示，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA₁＝3.求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

变式：本例已知条件不变，求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的余弦值.

【课堂小结】

1.利用空间向量求直线与平面夹角的基本步骤

(1)建立空间直角坐标系；      (2)求直线PA的方向向量→(PA)；

(3)求平面的法向量n；        (4)设线面角为θ，则sinθ＝||n|(PA).

2.运用了有哪些数学思想？

化归与转化的思想等.

五、课后延伸与探索

如何用向量法求点到平面的距离？

六、课后作业

1．如图所示，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA₁＝3.求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．（用几何法和向量法的结合求解）

2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，求BD与平面ADMN所成的角θ.

撰文：教科室

图片：教科室

审核：刘旭

上传：邹涛